当前位置：网站首页 » 观点 » 内容详情

外接圆的性质权威发布_外接圆内切圆知识点(2024年12月精准访谈)

内容来源：中小站长动力网所属栏目：观点更新日期：2024-11-28

外接圆的性质

三角形五心详解及其性质定理三角形五心及相关定理是初中数学的重要知识点，也是中考数学几何模型的常见考点。以下是三角形五心的详细总结及其相关性质定理。 𐟓Œ 一重心定义：三角形三边中线的交点。性质：重心将每条中线分为2:1的比例。公式：$BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$。结论：重心到三角形任意一边的中点连线，与该边平行且等于该边的一半。 𐟓Œ 二垂心定义：三角形三垂线的交点。性质：垂心与三角形的三个顶点组成垂心组。结论：垂心到三角形任意一边的垂线，与该边垂直且等于该边的一半。 𐟓Œ 三外心定义：三角形三达中垂线的交点。性质：外心是三角形的外接圆圆心。公式：$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$。结论：外心到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值。 𐟓Œ 四内心定义：三角形三条内平公线的交点。性质：内心是三角形的内切圆圆心。公式：$r = \frac{2S}{a + b + c}$。结论：内心到三角形任意一边的距离等于该边的长度乘以该边对应的正弦值的一半，再除以三角形的周长。 𐟓Œ 五旁心定义：三角形一内向平与外两外线的交点。性质：旁心在三角形内部，且到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值的一半。 𐟓Œ 欧拉线结论：重心、外心、垂心三点共线，且重心到垂心的距离等于外心到垂心的距离的两倍。 𐟓Œ 五点共圆结论：重心、外心、内心、垂心在三角形中五点共圆，且这个圆的半径等于外接圆半径的一半。通过以上总结，我们可以更好地理解和掌握三角形五心的性质和定理，为解决相关数学问题打下基础。

福州九年级数学模拟试卷精选 ### 1. 抛物线与坐标点抛物线方程：已知抛物线y=ⲫx经过点(2,6)和(4,4)，求抛物线的解析式。解析：根据已知条件，可以列出方程组求解š„值，进而得到抛物线的解析式。矩形中的三角形已知矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F。求证：AAEDAFAB；若AF=8，求线段BE的长。解析：利用矩形的性质和直角三角形的性质，可以求出BE的长度。圆的性质已知A=OB，AB交OO于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F。求证：AC=BD；若OF=2EF，CD=8，求OO直径的长。解析：利用圆的性质和已知条件，可以求出OO的直径。价格调整问题突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，复工复产后商场对某种商品价格进行了调整。已知该商品进价提高了8元定为销售价格，此时8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件。如果每件再涨价1元，每天就会少售出5件。求该商品的售价和进价各是多少元；若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元。解析：利用价格和销售量的关系，可以求出商品的售价和进价，以及再涨价的金额。尺规作图已知ABC，请用尺规作图法在线段BC上找一点D，使AC=CDCB。解析：利用尺规作图法，可以找出符合条件的点D。四边形与外接圆如图，O是四边形的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，AD平分LPAC。若AC是OO的直径，求证：PD与OO的相切；若AC是OO的直径，弧AB=弧BC，求PDC的度数；若BC=CD，求AB+AD的最大值。解析：利用四边形和外接圆的性质，可以求出相关角度和长度。抛物线与坐标轴如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(1,2)在抛物线y=x+bx+c上，该抛物线与y轴交点的纵坐标为-1。求抛物线的解析式；当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求AOAP的面积；当-2≤x≤m时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；设此抛物线在点A与点P之间部分(含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线1，当该抛物线的最低点到直线1的距离是点P到直线1的距离的2倍时，直接写出m的值。解析：利用抛物线的性质和已知条件，可以求出相关长度和角度。

欧氏几何中的经典问题与解法 𐟓œ 欧氏几何中的经典问题与解法 𐟔 在欧氏几何中，有许多经典的问题需要通过精心设计的证明来解决。以下是一些精选的问题和它们的解法： 𐟓– 问题：证明三角形内角和为180度。解法：通过作辅助线，将三角形分割成两个直角三角形，然后利用直角三角形的性质来证明。 𐟓 问题：证明勾股定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明勾股定理。 𐟔—˜：找出三角形外接圆的半径。解法：通过作三角形的三条垂直平分线，找到外接圆的圆心，然后计算半径。 𐟓 问题：证明三角形内角平分线定理。解法：利用角平分线的性质和三角形的相似性，通过构造相似三角形来证明。 𐟔 问题：找出三角形内心和外心的位置。解法：通过作三角形的三条角平分线和垂直平分线，找到内心和外心的位置。 𐟓 问题：证明正弦定理和余弦定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明正弦定理和余弦定理。 𐟔—˜：找出三角形的重心和垂心。解法：通过作三角形的三条中线和垂线，找到重心和垂心的位置。 𐟓 问题：证明平面几何中的一些基本性质，如平行线的性质、相似三角形的性质等。解法：利用已知的几何性质和定理，通过逻辑推理和几何作图来证明。这些问题只是欧氏几何中的冰山一角，还有许多其他有趣且富有挑战性的问题等待我们去探索和证明。通过这些问题的解决，我们可以更好地理解几何的本质和美感。

初中数学几何辅助线全攻略，轻松掌握！初中数学几何中，辅助线的添加是解题的关键。以下是各种与圆相关的辅助线类型，帮助你轻松应对各类几何问题。与圆有关的辅助线类型 𐟓 连半径构造圆心角：通过连接半径来构造圆心角，方便计算角度。构造同弧所对的圆周角：利用同弧所对的圆周角相等，简化计算。构造圆的内接四边形：通过内接四边形来证明或计算圆的性质。构造特殊三角形：利用特殊三角形来求解或证明圆的性质。与垂径定理有关的辅助线：利用垂径定理来证明或计算圆的性质。与切线有关的辅助线：通过切线来证明或计算圆的性质。内切圆与外接圆常作的辅助线：利用内切圆和外接圆的性质来解题。辅助圆：构造辅助圆来证明或计算圆的性质。中考切线真题辅助线：针对中考真题的切线辅助线，帮助你掌握解题技巧。数学提分小技巧 𐟓ˆ 课上的听讲理解胜于做好课堂数学笔记：数学是一门靠理解的学科，更侧重于能听得懂以及听的全。记笔记可以选择性纪录，不是一味的全部写，如果对笔记的完整性有要求，可以在课间完成。学会思考，学会提问：例题的作用是促进我们思考和巩固知识点、会一道题可以知其然知其所以然，便于举一反三，对于不同的经典例题一定要吃透。错题定期复习，定期重做：定期复习和重做错题，效果会比想象好很多。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握初中数学几何的辅助线添加方法，提升解题能力。

三角形五心总结：公式与性质全解析你是否还记得三角形的五心呢？𐟤” 如果突然在题目中看到“点O是三角形的内心”，你可能会感到困惑。别担心，今天我们来总结一下这五个心的性质，帮你巩固记忆！ 1️⃣ 重心：三角形三边串线的交点。性质1：重心到三角形三边的距离相等。性质2：三角形的重心到任意一边的中点的距离是该边的一半。性质3：若三角形的三边为a、b、c，则重心的坐标为((a+b+c)/3, (a+b+c)/3)。 2️⃣ 外心：三角形三边中垂线的交点，即外接圆圆心。性质1：外心到三角形的三个顶点的距离相等。性质2：若三角形的一个角为直角，则外心到该直角的两边的距离之和等于该直角的一半。性质3：设三角形的三边为a、b、c，则外接圆的半径R可以通过海伦公式计算：R = (abc)/(4S)。 3️⃣ 内心：三角形三条角平分线的交点，即内切圆圆心。性质1：内心到三角形三边的距离相等。性质2：内心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形周长的一半。性质3：设三角形的三边为a、b、c，则内切圆的半径r可以通过内切半径公式计算：r = (S/L) 㗠P。 4️⃣ 旁心：三角形一个内角的平分线与其他两个内角的外角平分线的交点。性质1：三角形有三个旁心。性质2：旁心一定在三角形外部。性质3：旁心到三角形三边的距离相等。性质4：旁心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形周长的一半。 5️⃣ 垂心：三角形三条高的交点。性质1：三角形任一顶点到的距离等于外心到对边的距离的两倍。性质2：垂心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形周长的一半。 𐟔 注意：等边三角形的重心、外心、内心和垂心是同一点，称为中心。中心同时具有四心的性质。希望这份总结能帮助你更好地理解和记忆三角形的五心！𐟒ꀀ

𐟓三角形的五心大揭秘𐟒ኰŸ” 你是否对三角形的五心感到好奇？今天，我们将带你一起探索这个数学之谜！ ❤️ 内心：三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心。它到三角形三边的距离都相等哦！ 𐟒š 外心：三角形三边中垂线的交点，也就是外接圆的圆心。你知道吗？它的性质可多了！ 𐟒› 垂心：三角形三条高的交点，这个心可是三角形的重要角色之一呢！ 𐟒™ 重心：三角形三边中线的交点，它可是三角形的稳定支撑点哦！ 𐟒œ 旁心：三角形一个内角的平分线与其他两个内角的外用平分线的交点，虽然它有点“旁”门左道，但也是数学世界中的一道亮丽风景线。 𐟎‰ 现在，你是不是对三角形的五心有了更深入的了解呢？快来试试这些性质吧，相信你会爱上数学的魅力！

三角形五心公式大全，轻松解题！ 𐟎“ 高中数学必备！三角形的五心公式来啦，包括重心、外心、内心、垂心和旁心，各有其独特的性质和公式。同学们，赶紧学起来吧，这些公式大大助力解题！ 𐟔 重心：三角形三边中线的交点。性质1：重心到三角形三边的距离相等。性质2：重心到三角形顶点的距离等于三角形面积的两倍。性质3：重心到三角形任意一边的中点的距离等于该边长度的三分之一。 𐟌 外心：三角形三边外接圆的圆心。性质1：外接圆的半径等于三角形任意一边的一半。性质2：如果三角形的一个角为直角，则外接圆的半径等于直角边的一半。性质3：如果三角形的三个角都小于180度，则外接圆的半径等于三角形周长的一半。 𐟒砥†…心：三角形三条角平分线的交点，即内切圆的圆心。性质1：内心到三角形三边的距离相等。性质2：内心到三角形顶点的距离等于内切圆的半径。性质3：内心到三角形任意一边的中点的距离等于该边长度的一半。 𐟓 垂心：三角形三条高的交点。性质1：垂心到三角形任意一边的距离等于该边的一半。性质2：垂心到三角形顶点的距离等于垂线段的长度。性质3：垂心到三角形任意一边的中点的距离等于该边长度的四分之一。 𐟌 旁心：三角形一个内角的平分线与其他两个内角的外平分线的交点。性质1：三角形有三个旁心。性质2：旁心一定在三角形外部。性质3：旁心到三角形三边的距离相等。性质4：旁心到三角形顶点的距离等于旁线段的长度。 𐟌Ÿ 中心：等边三角形的重心、外心、内心和垂心的交点，统称为中心。中心同时具有以上四种心的性质。 𐟒ᠦ𓨦„：中心同时具有重心的性质，即到三角形三边的距离相等，且到三角形顶点的距离等于三角形面积的两倍。

高中数学立体几何：球的切接与截面翻折 𐟓š 高中数学专题整理——立体几何 𐟔 球的切、接问题及截面、翻折问题外接球题型归类三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直→还原成长方体→2R=aⲫb+c 长方体（正方体）的特殊性质三棱锥对棱相等：mⲫnⲫpⲽ2RⲊ等边三角形与等腰直角三角形连接投影为矩形线面垂直型线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形），外接圆半径是r，满足正弦定理计算公式：R=PC+2；其中21-sinⲎ𘊩⩝⥞‚直型一般情况下，两面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心。许多情况下，会和二面角结合求多面体的外接球半径的常见方法三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心立体几何中截面的处理思路直接连接法有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程作平行线法过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线作延长线找交点法若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线辅助平面法若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面 𐟓– 制作：习理科实验室（数学教研组）

【赶紧学起来！《圆》提分笔记】圆来不过如此！初三数学《圆》全章预习笔记来啦，这13大类题型你都预习到了吗？ 1、垂径定理 2、圆周角定理及推论 3、点与圆的位置关系 4、直线与圆的位置关系 5、切线的性质 6、切线的判定 7、切线长定理 8、内切圆与外接圆 9、圆中的证明与计算 10、圆中的最值 11、四点共圆 12、圆幂定理 13、弧长和扇形面积初中数学笔记，初中数学知识点，中考数学，数学公式！ #自我提升指南# #中考加油#

柳铁一中月考卷，泰勒展开亮相！这套柳铁一中高三数学月考卷真是出得妙啊！难度适中，不偏不怪，还巧妙地引入了泰勒展开。以前总觉得泰勒展开是在大学考研时才会用到，没想到这几年在高中题里也频频出现，真是让人眼前一亮。#别人放假我学习 𐟓 解答题部分：第15题：已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，给出了一些条件，然后要求求角C和三角形ABC面积的最大值。这道题不仅考察了三角函数的性质，还涉及到外接圆半径的计算，真是综合性强的一题。第16题：在直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面四边形ABCD为梯形，给出了一些边长条件，然后要求证明AB⊥AD，并求点B到平面BCD的距离。这道题不仅考察了空间几何，还涉及到直线的距离计算，真是让人头大的一题。第17题：已知椭圆方程，点P到两焦点的距离之和为22，离心率已知。要求求椭圆的方程，并通过直线过右焦点与椭圆交于A、B两点，求出直线斜率k的值。这道题不仅考察了椭圆的性质，还涉及到直线的斜率计算，真是综合性强的一题。第18题：有两个袋子，每个袋子中都有2个黑球和1个红球。每次从两个袋子中随机取出一个球进行交换，重复操作n次后，记第1次操作后甲袋子中红球的个数为X。要求求X的分布列和数学期望，以及第n次操作后甲袋子中恰有1个红球的概率P。这道题不仅考察了概率统计，还涉及到数学期望的计算，真是让人摸不着头脑的一题。第19题：根据泰勒公式，给出了一个复杂的数学表达式，然后要求证明一些数学等式，并求实数a的取值范围。这道题不仅考察了泰勒公式的应用，还涉及到数学证明和不等式计算，真是让人头疼的一题。总的来说，这套月考卷不仅考察了高中数学的基础知识，还涉及到一些高等数学的内容，真是让人又爱又恨啊！𐟒ꀀ

专栏内容推荐

535 x 238 · png
三角形外接圆面积公式是什么-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com

444 x 297 · jpeg
外接圆(数学概念)_搜狗百科
素材来自:baike.sogou.com
640 x 401 · png
三角形外接圆半径公式有哪些-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com

680 x 454 · jpeg
外接圆(数学概念)_搜狗百科
素材来自:baike.sogou.com
1280 x 720 · jpeg
备战中考数学，多边形外接圆的性质题型，掌握多边形的中心综合解题_腾讯视频
素材来自:v.qq.com

1508 x 942 · jpeg
外接圆半径公式 - 快懂百科
素材来自:baike.com
458 x 298 · png
正方形内接圆外接圆求计算公式-百度经验
素材来自:jingyan.baidu.com

769 x 227 · jpeg
三角形的外接圆 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

463 x 322 · png
三角形外接圆半径公式是什么?
素材来自:wenwen.sogou.com
795 x 783 · png
tkz-euclide 绘制三角形内切圆外接圆的几何示意图 - LaTeX 工作室
素材来自:latexstudio.net

600 x 400 · jpeg
外接圆(数学概念)_搜狗百科
素材来自:baike.sogou.com
117 x 121 · png
如图.已知⊙O为四边形ABCD的外接圆.O为圆心.若∠BCD=120°.AB=AD=2.则⊙O的半径长为( )A．$\frac{3\sqrt ...
素材来自:1010jiajiao.com

300 x 286 · jpeg
外接圆 - 搜狗百科
素材来自:baike.sogou.com
素材来自:v.qq.com

474 x 943 · jpeg
TikZ 绘制三角形的内心和外心 - 内接圆外接圆 - LaTeX 工作室
素材来自:latexstudio.net
700 x 400 · jpeg
圆外接四边形的性质圆外接四边形性质是什么 - 天气加
素材来自:tianqi.com

800 x 320 · jpeg
正三角形外接圆圆心的性质(圆内接正三角形的性质)-参考网
素材来自:cankaowang.com

500 x 666 · jpeg
外接圆图册_360百科
素材来自:baike.so.com
485 x 543 · jpeg
外接圆半径计算 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

800 x 320 · jpeg
三角形的外接圆有什么性质 - 业百科
素材来自:yebaike.com

220 x 165 · jpeg
外接圆_360百科
素材来自:baike.so.com
667 x 501 · jpeg
外接圆模型,外接圆,三角形外接圆(第2页)_大山谷图库
素材来自:dashangu.com

780 x 1102 · jpeg
备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心-填空Word模板下载_编号qoxgondz_熊猫办公
素材来自:tukuppt.com
800 x 320 · jpeg
外接圆圆心坐标公式_初三网
素材来自:chusan.com

860 x 1216 · png
专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（含解析）_21世纪教育网-二一教育
素材来自:zy.21cnjy.com
600 x 372 · png
三角形的外接圆有什么性质「内接圆和外接圆的性质」-八桂考试
素材来自:gxbiandao.com

500 x 480 · jpeg
三角形外接圆半径_百度知道
素材来自:zhidao.baidu.com
600 x 400 · png
CAD内切圆和外接圆的区别-3d溜溜设计问答
素材来自:3d66.com

素材来自:youtube.com

600 x 1416 · jpeg
三角形的外接圆半径 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com
240 x 208 · png
求不规则图形外接圆的算法 (附：三角形外接圆计算公式)_python求不规则图形外接圆-CSDN博客
素材来自:blog.csdn.net
286 x 256 · png
正方形的外接圆的面积 | 码农参考
素材来自:verytoolz.com

359 x 182 · png
三角形外接圆半径公式是什么?
素材来自:wenwen.sogou.com
482 x 528 · jpeg
外接圆半径计算 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

GIF
278 x 217 · animatedgif
外接圆半径计算 - 知乎
素材来自:zhuanlan.zhihu.com

素材来自:See more

当前用户设备UA：Mozilla/5.0 AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko; compatible; ClaudeBot/1.0; +claudebot@anthropic.com)